520 - Rupture du contrat didactique : utilisation des stratégies métacognitives dans la résolution de problèmes algébriques

Lúcia de Fátima Araújo

Grupo de Pesquisa « Fenômenos Didáticos na classe de Matemática» UFPE/UFRPE, Brésil

 

Nadja Maria Acioly-Regnier

Laboratoire « Santé, Individu, Société » EAM-SIS-HCL 4128, Université de Lyon, France

 

Mots-clés : contrat didactique, métacognition, algèbre scolaire, résolution de problèmes.

Résumé : La présente étude a pour objectif d’analyser la relation entre contrat didactique et métacognition dans la résolution de problèmes en algèbre. A cette fin, nous avons bénéficié de la collaboration d’un professeur de mathématiques et de ses élèves de 8e année (équivalent de la 4e française) d’une école privée de Recife au Brésil. La méthode a été divisée en quatre étapes : vidéographie exploratoire de 4 séances de cours en vue d’identifier les stratégies métacognitives existantes, réalisation d’entretiens individuels avec le professeur, enregistrements vidéo d’une série de séances de cours visant à capturer les éléments faisant référence au contrat didactique et à la métacognition, entretien final avec le professeur appuié sur des extraits vidéo des cours. L’analyse des phénomènes didactiques se basait sur les interactions discursives en salle de classe, selon les travaux de Brousseau (1998), Sarrazy (1995), Jonnaert e Borght (2003) entre autres. En ce qui concerne l’analyse des stratégies métacognitives, nous avons construit trois catégories basées sur les études de Schoenfeld (1987), Martin et al. (2001), Lafortune et al. (2003) et Tanner et Jones (2003), à savoir : les stratégies métacognitives d’ordre personnel (auto-évaluation), celles relevant des procédures et celles relatives à la compréhension du problème. Conformément à notre proposition de travail, nous avons orienté le professeur afin qu’il  aide ses élèves à résoudre des problèmes algébriques en stimulant les stratégies métacognitives. Ensuite, dans un premier temps, nous avons observé quelques leçons du professeur en cherchant à identifier l’apparition de stratégies métacognitives à partir de notre proposition de travail. Dans un deuxième temps, nous avons introduit, par l’intermédiaire du professeur et en accord avec le contexte de ses leçons, des problèmes mathématiques qui visaient de par leur structure à créer une rupture avec le contrat didactique établi. Les résultats que nous avons obtenus ont montré que malgré la tentative du professeur de promouvoir des stratégies métacognitives, celles-ci sont apparues seulement de manière implicite chez certains élèves et une fois qu’il n’y avait plus de réel changement dans les règles du contrat. Cependant, par un changement de direction méthodologique, les problèmes que nous avons suggéré ont entrainé une rupture du contrat didactique établi et ont fait émerger chez les élèves des stratégies métacognitives d’autorégulation d’une forme relativement explicite. Ces résultats nous amènent à supposer qu’il semble possible de développer des stratégies métacognitives dans l’enseignement-apprentissage de l’algèbre. Néanmoins, pour que ceci se produise, il est nécessaire que le professeur parvienne à rompre le contrat didactique communément établi étant donné que l’utilisation de stratégies métacognitives ne fait pas partie du quotidien de nos salles de classe de mathématiques.

 

1. Introduction :

Les difficultés rencontrées par les élèves dans l’apprentissage des mathématiques et les indices de réprobation en « masse » (CRUZ, 2002) ont stimulé le développement d’études cherchant à déterminer les causes du taux d’échec élevé des élèves dans cette discipline, en vue de contribuer à la réflexion et à la recherche de solutions pour réduire ce problème rencontré dans les salles de cours en mathématiques.

Ainsi, les recherches sur les problèmes d’apprentissage à l’école au cours des dernières décennies comportent un nombre important d’études dans le domaine des mathématiques ( Lester, 1985; Schoenfeld, 1987; Brousseau, 1990, 1998; Henry, 1991; House, 1995; Acioly-Régnier, 1995;1997 ; Sarrazy, 1995, 1996 e 1997; Tanner et Jones, 1995, 1999 e 2003; Medeiros, 1999, Câmara Dos Santos, 2002; Brito Menezes, 2006; Melo André, 2007; Frade, Acioly-Régnier et Jun, 2012), ce qui témoigne de la préoccupation et de la mobilisation des chercheurs en vue de la compréhension des processus éducatifs et de l’identification des causes des difficultés rencontrées par les étudiants avec ces contenus.

Les chercheurs du champ de l’Education Mathématique ont cherché principalement à identifier les causes possibles du taux d’échec élevé dans cette discipline. Nombre de ces études ont examiné les programmes en Mathématiques et l’enseignement de la discipline, les évaluations scolaires et les stratégies visant à aider les élèves et à améliorer leurs compétences dans l’apprentissage des concepts.

De plus, l’expression  « Didactique des mathématiques » est apparue en France aux alentours de 1974. Selon Sarrazy (1995), ce champ nouveau est issu des recherches de G. Brousseau qui a identifié le contrat didactique comme étant une cause possible de l’échec scolaire. Ce champ de recherche a introduit une dimension fondamentale : les phénomènes d’enseignement-apprentissage spécifiques à l’enseignement des mathématiques dans le cadre de situations scolaires.

Il ne s’agissait pas d’un échec global, indifférencié, que l’auteur a proposé d’étudier, mais d’un échec spécifique en mathématiques. De plus, les causes invoquées ne sont pas identifiées comme extérieurs au processus d’enseignement mais constitutives de celui-ci. Elles sont donc étudiées à travers le rapport de l’élève au savoir et aux situations didactiques et non à travers ses attitudes ou ses caractéristiques générales stables (SARRAZY, 1995, p.2)

Par contrat didactique nous entendons les règles (majoritairement implicites) qui déterminent quelles sont les responsabilités de chacun des participants à la relation didactique (professeur et élève) dans la gestion du savoir mis en scène dans le jeu didactique (BROUSSEAU, 1987 ; CHEVALLARD et al, 2001). Ces règles sont créées en fonction des attentes de chacun des partenaires vis à vis de l’autre et toujours en relation à un savoir.

Par conséquent, comme l’a souligné Sarrazy (1995), le contrat didactique contribue à légitimer le champ de la didactique des mathématiques dans le cadre des situations scolaires parce que cette vision laisse entrevoir des actions possibles pour maîtriser l’échec scolaire mettant en cause le contrat didactique (Araújo, Câmara Dos Santos, Acioly-Régnier, 2010).

Ainsi, l’étude du contrat didactique est particulièrement pertinente pour la compréhension du processus d’enseignement-apprentissage dans la dynamique de la salle de classe. De plus, dans la présente étude, le choix de l’algèbre comme champ d’investigation renvoie au taux élevé d’échec scolaire dans ce domaine, et en particulier à ce qui est mis en évidence dans la littérature où l’algèbre est traité comme un obstacle important dans la vie scolaire de nombreux élèves, devenant examiné comme un élément d’exclusion sociale (Castro, 2003 ; Loos, Da Rocha Falcão et Acioly-Régnier,2006).

Ces difficultés peuvent également être liées au caractère mécanique de l’apprentissage mis en avant par Oliveira (2003, p. 39) :

« Les professeurs et les élèves résolvent des équations à travers une séquence de procédures, la plupart du temps sans prêter attention ou même sans comprendre les notions impliquées dans l’étude des équations, et par conséquent, les élèves poursuivent leur scolarité sans attribuer de signification à cette activité. »

Le témoignage des élèves, présenté par House (1995), confirme ces difficultés rencontrées par ceux-ci pour apprendre l’algèbre : « l’algèbre est très difficile et bien qu’il soit très instructif, quatre-vingt-dix pour cent des fois, il est aussi très frustrant. Cela signifie des heures de cours qui nous n’arrivons pas à comprendre » (élève de 7e série – 5e française, dans House, 1995, p.1).

Parmi les solutions proposées par les chercheurs pour la maîtrise de ces problèmes, nous pouvons citer les travaux de Lester (1985) et Schoenfeld (1987). Partant d’une analyse des causes possibles des difficultés des élèves dans l’apprentissage des concepts mathématiques, ces auteurs ont proposé comme un angle d’attaque possible de faire prendre conscience aux élèves du déroulement de leur propre processus d’apprentissage. En d’autres termes, ces études ont montré la nécessité de développer des processus métacognitifs chez les élèves comme l’un des objectifs de base de l’éducation.

La métacognition est la connaissance que l’étudiant a de ses propres processus cognitifs ou d’aspects liés à ceux-ci, comme les difficultés à assimiler un contenu donné, les procédures cognitives adaptées à la réalisation d’une tâche, l’usage de stratégies de résolution de problèmes, etc. Le développement de compétences métacognitives chez l’apprenant serait un moyen d’améliorer l’apprentissage.

Il importe de rappeler que, d’une manière plus générale, il existe deux approches différentes de la métacognition : la conscience de la connaissance même et la régulation des processus de connaissance[1].

MartinDoudin et Albanese (2001) ont cherché à expliquer les deux significations différentes attribuées au concept de métacognition : initialement, ce concept était utilisé afin de désigner la connaissance que le sujet a de son propre fonctionnement cognitif et plus récemment, ce terme en est venu à désigner les mécanismes de régulation ou de contrôle du fonctionnement cognitif.

Dans ce travail, nous avons adopté la seconde perspective, c’est-à-dire la métacognition comme une fonction d’autorégulation de la connaissance. Selon cette perspective, lorsque l’individu doit répondre à un problème, à un questionnement, il est amené à réfléchir à son raisonnement, il n’a pas besoin d’en être conscient, c’est la situation qui l’y conduit et non pas nécessairement une décision délibérée. Cependant, au-delà des difficultés mises en évidence par les chercheurs en Education Mathématique en relation à l’enseignement-apprentissage de l’algèbre, cette recherche s’est concentrée sur le questionnement suivant : dans quelle mesure le contrat didactique établi entre professeur-élève-savoir peut favoriser l’apparition de stratégies métacognitives dans l’apprentissage de l’algèbre ?

En vue de cette analyse, nous avons centré notre attention sur les productions et les interactions discursives impliquant le professeur et les élèves, « leur parole » nous a permis d’accéder aux éléments relatifs au contrat didactique et aux stratégies métacognitives.  Le discours « capture » les éléments du contrat, comme l’a suggéré Câmara dos Santos (1997).

Il importe de rappeler que la singularité de cette étude résidait dans sa tentative de promouvoir un débat théorique entre contrat didactique et métacognition dans l’apprentissage de l’algèbre scolaire. Dans ce débat, nous avons « observé » les stratégies métacognitives selon la perspective du contrat didactique. A cette fin, à partir de références en Didactique des Mathématiques et en Psychologie Cognitive, nous avons identifié, dans des situations de cours, les modalités de l’interdépendance de ces deux phénomènes. Après une vaste recherche bibliographique dans les littératures brésilienne, française[2] ainsi que dans quelques études nord-américaines, nous pouvons affirmer que nous n’avons pas trouvé, dans la littérature explorée, d’études reliant ces deux phénomènes.

 

2. Méthode :

L’objectif de cette recherche était d’analyser la relation entre le contrat didactique et la métacognition dans la résolution de problèmes algébriques. Pour cela, nous avons proposé le schéma méthodologique suivant :

Cette recherche s’est appuyée sur la participation d’un professeur de mathématiques du secteur privé, et d’une classe de 35 élèves de 8e année (4e française) au niveau de l’Enseignement Fondamental II en cours d’algèbre.

La sélection s’est faite sur la base du volontariat et le professeur choisi, licencié en Mathématiques, enseignait depuis 3 ans dans le secteur privé au moment du recueil des données.

La méthodologie a été divisée en 4 étapes, toutes filmées des manières suivantes :

Dans la 1e étape, nous avons filmé quatre séances de cours lors desquelles nous avions pour objectif de connaître la dynamique de la salle de classe, d’identifier quelques-unes des règles du contrat didactique établies dans cette classe, mais aussi d’identifier les stratégies métacognitives stimulées par le professeur et présentées par les élèves. Cette investigation initiale a servi de paramètre de comparaison du fonctionnement de cette salle de classe, avant la supposée « contamination » du professeur par notre proposition de travail avec la métacognition.

La 2ème étape comprenait trois entretiens avec le professeur. Durant ces rencontres, nous cherchions à étudier les conceptions du professeur sur l’enseignement-apprentissage de l’algèbre (données fournissant des éléments pour l’analyse des cours) ; nous avons également préparé le professeur à promouvoir la métacognition dans la résolution, en le guidant pour qu’il stimule les stratégies métacognitives de ses élèves.

Dans la 3ème étape nous avons filmé toute la 3e unité (24 séances de cours) avec pour objectif d’observer si le contrat didactique établi encourageait la mise en œuvre de stratégies métacognitives chez les élèves pour la résolution de problèmes algébriques en salle de classe, comme nous l’avions proposé.

Durant l’enregistrement des cours, nous avons perçu les difficultés éprouvées par le professeur lors de la modification du contrat didactique qui répondaient à notre proposition de travail. Pour cette raison, nous avons pris la décision durant le recueil de données d’engendrer une rupture du contrat didactique. Nous avons alors suggéré à l’enseignant une activité à proposer à ses élèves. L’activité en question était similaire à celle utilisée par celui-ci avec ses élèves, toutefois, les problèmes avaient un format différent des modèles utilisés habituellement par cet enseignant et par la grande majorité des professeurs de mathématiques (problèmes à énoncés longs, avec des réponses en inadéquation avec la question, problèmes aux données insuffisantes, etc.). Ce format différent visait à induire des réflexions métacognitives chez les élèves.

Nous avions convenu avec le professeur que les élèves ne devaient pas être informés de la provenance de ces problèmes, ainsi, les problèmes ont été présentés à la classe comme des problèmes proposés par le professeur. Les élèves ont résolu les problèmes en binômes constitués par le professeur. Lors de la leçon d’application des problèmes, la chercheure est entrée dans la classe et a filmé le déroulement de cette activité comme elle était venue le faire durant toute la 3e unité. 

Enfin, lors de la 4e étape, nous avons filmé un entretien avec le professeur où nous lui présentions quelques extraits des leçons en lui demandant des explications et des justifications liées aux phénomènes mis en évidence.

 

3. Analyse des résultats :

Pour l’analyse de données, nous avons sélectionné quelques leçons dans lesquelles les phénomènes étudiés étaient plus saillants, puis avons sélectionné quelques épisodes qui montraient ces phénomènes. Nous avons analysé les phénomènes didactiques à partir des interactions discursives en salle de cours, selon le référentiel théorique de ce travail.

Pour l’analyse des stratégies métacognitives, nous avons construit trois catégories basées sur l’étude de Schoenfeld (1987), Martin et al (2001), Lafortune et al (2003) et Tanner et Jones (2003) et identifiées dans les matériel vidéographique, à savoir : les stratégies métacognitives d’ordre personnel (auto-évaluation), celles relevant des procédures et celles relatives à la compréhension du problème.

Nous présentons ici quelques exemples de ces catégories :

Catégories

Exemples

Stratégies métacognitives d’ordre personnel : liées à l’auto-évaluation.

“Comment j’ai été dans cette tâche"

“Je sais résoudre/je ne sais pas résoudre”

Stratégies de l’ordre des procédures : Liées à la connaissance des règles mathématiques.

Pourquoi c’est négatif?

Un nombre négatif avec un autre négatif, dans une soustraction va avoir le même signe”.

Stratégies de l’ordre de la compréhension du problème : Liées à la compréhension du problème comme un tout – processus d’autorégulation.

“La formulation de la question est fausse

“Il manque des données pour résoudre ce problème”.

Tableau 1 - Catégories pour l’analyse des Stratégies Métacognitives.

 

4. Résultats :

Lors de la première étape, avant notre intervention, nous avions remarqué que le professeur stimulait les stratégies métacognitives de l’ordre des procédures, faisant en sorte que les élèves réfléchissent aux règles mathématiques sur lesquelles s’appuie la résolution, comme dans l’épisode suivant :

Episode 1
Prof : Laisse-moi te poser une question : G. pourquoi le résultat est positif ?
G. : Parce que moins fois moins donnent plus. (-) x (-) = +
Prof : Pour quoi ça fait 6?
G. : Parce que 3 x 2 = 6
Prof : Pourquoi ça donne ‘a’ dans la troisième?
Prof : ‘a’ trois fois.
Prof : pourquoi ça fait x2?
Plusieurs élèves : x fois x.

Nous avons également remarqué que le professeur suggérait aux élèves de s’autoévaluer (stratégies métacognitives d’ordre personnel), mais ces stratégies n’ont pas été pas mises en pratique dans la salle de classe, elles ont seulement été suggérées, comme dans l’exemple suivant :

Episode 2
Prof :  J’aimerais que vous pensiez à cela : nous avons fait un contrôle…il faut que chaque élève, chaque élève a besoin de s’autoévaluer, d’évaluer comment a été sa participation au contrôle, bien sûr que certains de ces, ils découlent déjà sûrement de la 2e phase, mais chacun doit se dire la chose suivante : “comment j’ai été, qu’est-ce qu’il faudrait que je renforce si je devais étudier un petit peut plus, y consacrer un peu plus de temps », alors tout ça est important pour chaque élève, de la note la moins élevée à la plus élevée, pour qu’il puisse percevoir comment il a été.

Déjà lors de cette première étape, nous sommes parvenus identifier une règle du contrat didactique. Cette règle a été confirmée par les paroles du professeur dans l’entretien que nous avons mené avec lui lors de la deuxième étape 

“L’élève doit faire une bonne quantité d’exercices, ce qui va lui assurer différentes stratégies de résolution ».

Cette règle, qui suggère la conception du professeur à propos de l’enseignement-apprentissage de l’algèbre, s’est présentée comme un élément déterminant de la façon dont le professeur conduisait son travail

Après avoir procédé aux orientations du professeur à propos du travail devant être développé dans ses cours afin de stimuler la métacognition chez ses élèves, nous avons débuté la 3e étape. Lors de cette étape, nous avons observé, à partir des résolutions de problèmes, le développement du travail que nous avions proposé

Dans cette étape, nous avons pu percevoir que malgré la motivation dont le professeur a fait preuve en relation à notre proposition de travail, le contrat didactique s’est maintenu à l’identique, au point que la façon de mener les leçons par le professeur (fractionner les problèmes en petites parties, diriger l’élève pas à pas vers la réponse attendue, etc.) fasse en sorte que lui-même réfléchisse à la place des élèves : le professeur lui-même avait recours à des stratégies métacognitives et il amenait les élèves à répondre seulement à des questions directes. Nous en donnons un exemple dans l’épisode suivant :

Episode 3
Problème : “L’âge du père est le quintuple de l’âge du fils. Dans six ans, l’âge du père sera le triple de l’âge du fils. Quel est l’âge du père ? »
 
(Pendant la résolution)....
 
Prof : Quelqu’un a pensé à ça aussi ?...Quelqu’un y a pensé ? Tu y as pensé J ? Tu y as pensé ? Comment on fait avec cet âge alors ? Parce que regardez : pour que tu puisses savoir l’âge de père, de qui dois-tu connaître l’âge en premier ?
Elève : du fils.
P : Du fils. Et tu le connais?
E : Non.
P : Non. Alors, qu’est-ce qu’on peut faire ?
(Personne ne répond)
P : Poser une valeur algébrique X, ce qu’elle a fait.

A partir de nos observations durant la troisième étape, nous avons décidé de rediriger notre intervention et avons demandé au professeur d’appliquer, en cours, une liste de problèmes. Cette liste élaborée par nous-même avait pour objectif de rompre le contrat didactique, comme décrit précédemment ; ce changement de direction méthodologique a amené les élèves eux-mêmes à rompre avec le contrat didactique. « En général, quand le contrat didactique est rompu, il devient en partie explicite et cela apparaît au niveau du discours didactique » (Brito Menezes, 2006) Ceci était évident dans leur discours à la leçon suivante ; comme le montre l’épisode suivant :

Episode 4
Leçon suivant la leçon d’application de l’exercice que nous avions proposé. Ce cours était consacré à la correction de l’exercice :
Prof: Dis-moi I. (L’élève avait la main levée depuis le début de la leçon pour demander la parole).
I. : Oh, Prof., les problèmes que vous nous avez fait faire la dernière fois, je ne sais pas si c’était juste un exercice ou un contrôle. Si c’était un contrôle, est-ce que vous pourriez annuler la note, pour l’amour de Dieu ?
Prof: Pourquoi ?
 I : Je vais avoir une mauvaise note, une très mauvaise note. (Des discussions parallèles commencent à partir de la revendication de l’élève I.)
Prof : Tu t’inquiètes pour ta note?
 I : Oui, bien-sûr, la note c’est 90%.
Prof : (Avec ironie): J’aime bien le calcul statistique basé sur des données véridiques !
Et un peu plus tard,
 I. : Professeur, en revenant à l’exercice, dans la 3e question (l’élève parle de mémoire, sans avoir l’exercice sous les yeux) vous ne vous êtes pas trompé dans la formulation ?
Prof: Je ne sais pas, je pense que j’ai dû confondre quelque chose dans la question 3
La classe commence des controverses parallèles sur la question.
I. : Parce que 200 reais pour les neveux de Recife, 120 pour ceux de São Paulo
Prof : Oui
I. : Comme le prix des deux cadeaux était le même, et qu’il y a un neveu de plus à Recife, avec une différence de 80 reais, alors chaque cadeaux coûterait 80 reais, mais ça ne marche pas ça ne marche pas avec 80, ni deux cent pour 80…
Prof: Est-ce que je me suis trompé ?
Beaucoup d’élèves parlent en même temps.
I: Un  des neveux ne va pas recevoir un demi-cadeau ?
Prof: Un demi-cadeau, c’est ce que ça donnait ?

Cet épisode a clairement montré une rupture du contrat didactique. Ici, nous pouvons percevoir qu’avant le début de la correction des exercices, les élèves avaient déjà annoncé que quelque chose de différent avait eu lieu au cours précédent et l’élève I., parlant au nom de la classe entière, a tenté de renégocier le contrat pédagogique : Est-ce que vous pourriez annuler la note, pour l’amour de Dieu ? Je vais avoir une mauvaise note, une très mauvaise note…

De son côté, le professeur répond de manière ironique, montrant ainsi une possible insécurité dans le fait de mener la classe avec ce nouveau contrat : Tu t’inquiètes pour ta note? J’aime bien le calcul statistique basé sur des données véridiques ! Et dans d’autres extraits : Je ne sais pas, je pense que j’ai dû confondre quelque chose dans la question 3…Est-ce que je me suis trompé ?

Un autre extrait a attiré notre attention lorsqu’un des élèves a annoncé l’usage de stratégies métacognitives : I. : “un des neveux ne va pas recevoir un demi-cadeau ?”. A ce moment l’élève était en train de chercher, dans le contrat déjà établi, une façon de résoudre le problème. En effet, comme l’a affirmé Henry (1991), il existe des règles acceptées tant par le professeur que par les élèves, en relation avec les problèmes en Mathématiques, et l’une d’entre elles est qu’« il existe toujours une réponse à une question mathématiques, et le professeur la connaît. Il faut donc toujours donner une réponse qui sera éventuellement corrigée. »

Nous allons présenter le problème cible de cette rupture puis nous procéderons à une explication :

 « À São Paulo j’ai un neveu de moins qu’à Recife. J’ai dépensé R$ 200,00 dans l’achat de cadeaux pour les neveux de Recife et R$ 120,00 pour ceux de São Paulo. De cette manière, tous mes neveux ont reçu un cadeau de la même valeur. Combien ai-je de neveu à São Paulo ? Et à Recife ? »

Voici la résolution faite par le professeur :

J’ai dépensé (R$ 200,00) – Recife: x + 1 neveu
J’ai dépensé (R$ 120,00) – SP: x neveux
 
Recife: 200/x+1
São Paulo : 120/x
200x = 120 (x +1)
200 x = 120x + 120
200 x – 120x = 120
80 x = 120
 x   =120/80= 1,5 (neveux de São Paulo)
1,5 + 1 = 2,5 (neveux de Recife)

Ce problème, même s’il présentait une procédure de résolution correcte du point de vue mathématique, donnait un résultat absurde puisque la réponse finale était 1,5 neveu ou 2,5 neveux, ce qui ne peut pas exister du point de vue de la réalité. Mais l’élève qui répondrait automatiquement pourrait ne pas percevoir ce résultat absurde ; pour le percevoir il est nécessaire d’utiliser des stratégies métacognitives de l’ordre de la compréhension de problèmes, pour lesquelles, en plus de la compréhension du problème, l’élève doit revenir à l’énoncé et percevoir que la réponse n’a pas de sens par rapport à la question posée : « Combien de neveux ai-je à São Paulo ? Et à Recife ? »

Cependant, afin de mieux comprendre ce qui s’est passé durant la leçon de correction des problèmes, nous allons observer en détail le prochain épisode, dans lequel nous pouvons percevoir plus clairement que ce sont les élèves qui amènent la métacognition. À ce moment-là, ils montrent qu’ils n’opèrent pas simplement une résolution automatique, ils avaient en effet déjà perçu que la réponse trouvée ne satisfaisait pas la question du problème même avant que le professeur ne démarre la résolution. Ils ont essayé de trouver une explication à cela ; ils ont initialement suggéré qu’il devait y avoir une erreur dans la formulation du problème, ont pensé que le professeur s’était trompé dans les nombres et ont tenté de lui montre. Pour faciliter l’analyse, nous avons divisé cet épisode en a, b et c :

Episode 5a:
 
Prof: Question numéro 3, tu peux la lire M ? Et pendant qu’elle lit, je veux que tout le monde l’accompagne, d’accord ?
M. : “ À São Paulo j’ai un neveu. Combien de neveux ai-je à São Paulo? Et à Recife?”
Prof: Ok, comme vous avez déjà lu ce problème plus d’une fois et que vous y avez probablement déjà réfléchi, venons-en aux données : M. combien a-t-on dépensé pour les cadeaux à Recife?
Quelques élèves : 200,00.
Prof: Et pour ceux de São Paulo?
A : 120,00.
Prof : Bon, je vais le noter ici :
Et il commence à écrire au tableau j’ai dépensé
Quelques élèves l’interrompent : c’est faux !
Prof. : C’est faux ? (Il commence à lire le problème j’ai dépensé 200 reais pour l’achat…)
A : Ou changez le nombre de
I : La formulation de cette question est fausse.
Prof : Je ne comprends pas.
A : C’est comme ça un neveu en moins
Prof: Ah, tu veux déjà le résoudre, est-ce que j’ai dit quelque chose qui était faux ?
I : Je veux dire : il y a une erreur dans la question !
Prof : Du calme je n’en suis pas encore à la question, je suis en train de noter les données du problème. La classe commence à s’agiter, les élèves discutent en parallèle.
Le professeur écrit au tableau :
J’ai dépensé (R$ 200,00) - Recife
Prof : Combien est-ce qu’on a dépensé avec les neveux là, de São Paulo ?
M : 120,00
Prof: J’ai entendu quelque chose ? (Faisant référence aux discussions parallèles sur le problème) Vous êtes d’accord ou j’ai entendu quelque chose qui n’est pas normal ?
J’ai dépensé (R$ 120,00) – SP
Prof : Bon, et que dit le problème ?
(Et plus tard)
Prof : À Recife il y en a un de plus G., tu sais quel est la quantité de neveux à Recife et à São Paulo ? 
G: Non.
Prof: Alors nous allons commencer le problème en faisant quoi?
A: Recife est x + 1 et São Paulo est x.
Prof: Si à São Paulo nous disons qu’il y a x neveux, comme à Recife l’énoncé dit qu’il y en a un de plus, alors quelle expression va me donner le nombre de neveux ?
A. : x + 1
Prof : Très bien : x+1   
A. : Neveux.
Prof :   J’ai dépensé (R$ 200,00) – Recife: x + 1 neveux
           J’ai dépensé (R$ 120,00) – SP: x neveux

Au début de la lecture du problème le professeur a cherché initialement à maintenir le contrat didactique établi : « Problème numéro 3, tu peux lire M. Et quand elle lit, je veux que tout le monde l’accompagne, d’accord ? comme vous avez déjà lu ce problème plus d’une fois, et que vous y avez probablement déjà réfléchi, venons-en aux données : M. combien a-t-on dépensé pour les cadeaux à Recife ?” Il n’interroge pas la pensée des élèves et établit le modèle de résolution « premièrement, écrivons les données ».

Rapidement, les élèves ont commencé à s’inquiéter et à s’exprimer : « C’est faux !, « il y a une erreur dans la formulation de la question » « Je voulais dire : il y a une erreur dans la question » mais le professeur répond « Du calme je n’en suis pas encore à la question, je suis en train de noter les données du problème »… ce qui montre la difficulté du professeur pour maintenir la stabilité de la situation une fois le contrat rompu.

La leçon s’est poursuivie dans cette tentative de renégociation du contrat, le professeur cherchant à travers la représentation au tableau à stabiliser le contrat, les élèves tentant de verbaliser l’existence d’une erreur dans ce problème.

Durant ce processus, nous avons pu identifier l’interrelation des phénomènes relatifs au contrat didactique et à la métacognition. Ceci s’est manifesté, par exemple, dans le discours de l’élève B dans cet extrait:

Episode 5b
 
B. : Regardez professeur je pense que cette formule va être un peu bizarre.
Prof. : Elle va être bizarre, pourquoi?
B.: En supposant qu’il ait plusieurs neveux.
Prof: Oui
B.: C’est égal à  x = 120 e x + 1 = 200 ?
Prof : Mais comment se fait-il qu’il puisse avoir un neveu, et l’autre il aurait combien ? 
Une élève répond : 2
Prof : 2, oui et ils ont quoi ?
B.Ça ferait x = 120
                  x + 1 = 200?
A: Comme ça il faudrait que ça soit 240.
Beaucoup d’élèves parlent en même temps.
Une élève : Professeur, je peux dire quelque chose ?
Prof: Tu peux.
W.: Je crois que ça ne va pas marcher.
Prof: Du calme, répète.
B: São Paulo 120 reais égale à x, Recife x + 1 = 200 reais, alors comment 120 reais peuvent être égal à x et 200 reais être x +1.
Prof: Je peux poser une question ? Tu es d’accord avec cette trame qu’on a écrite ici ? (Il montre le tableau) :
J’ai dépensé (R$ 200,00) – Recife: x + 1 neveux
J’ai dépensé (R$ 120,00) – SP: x neveux
B.: Bon, je suis d’accord ça marche mais je trouve ça bizarre !
Prof : Qu’est-ce qui est bizarre ?
Elève I: Je comprends Professeur, il est en train de dire comme ça la trame x et x+1 est bonne, le problème c’est les montants en reais.
Prof: Les montants?
I.: C’est ça le problème, parce que ça n’est pas logique…
Prof: Interrompt les élèves et parle : Je veux que tout le monde écoute et participe au problème

Dans cet extrait, l’élève B cherche une réponse satisfaisante, démontrant l’existence d’une règle implicite qui établit que « en mathématiques, tout problème a une solution ». Ainsi, le recours à des mécanismes de métacognition semble générer un certain conflit chez cet élève, car s’il reconnaît que la solution trouvée n’a pas de sens logique bien qu’elle soit mathématiquement correcte, d’un autre côté, il cherche de manière systématique une solution au problème.

Le professeur rencontre des difficultés pour conduire cette situation et tente de convaincre l’élève qu’il faut résoudre le problème avant tout, comme établi dans le contrat présent avant la rupture, en utilisant la représentation au tableau. Ses derniers mots le mettent bien en évidence quand il tente de faire en sorte que l’élève soit d’accord avec ce qui est écrit au tableau. Ici, le discours de l’élève B. montre la difficulté d’accepter ce retour au contrat ancien : Bon ça marche je suis d’accord, mais je trouve ça bizarre. Ceci peut se traduire ainsi : « comme c’est lui le professeur, je suis d’accord, mais je continue de ne pas accepter ce qu’il est en train d’écrire au tableau. »

Ensuite, l’élève I. entre en scène avec le même discours que le collègue B « professeur il est en train de dire comme ça la trame x et x+1 est bonne, le problème c’est les montants en reais. » Et il continue « C’est ça le problème, parce que ça n’est pas logique… » Il est évident que les élèves « pensent » et perçoivent que le problème est incohérent, mais la façon dont le professeur le représente au tableau (totalement en accord avec le contrat didactique préétabli) rend difficile l’expression de la métacognition.

Nous avons perçu également que le professeur a eu des difficultés pour comprendre que les ruptures du contrat didactique mènent à une déstructuration de l’espace pédagogique, c’est pourquoi il a interrompu à plusieurs reprises la résolution pour attirer l’attention des élèves : « Je voudrais que tout le monde écoute et participe au problème »…

Enfin, le professeur a tenté de renégocier son contrat didactique parce que pour lui, l’important était de poursuivre la résolution :

Episode 5c
 
Prof :... Alors, je vais mettre de côté une question. Nous allons continuer avec la résolution et je vais garder cette question pour plus tard, elle est ici : (il fait le geste de la mettre symboliquement dans sa poche). Elle est ici, (il montre sa poche à la classe) et à la fin, je vais sortir cette question de ma poche pour vous la poser…, c’est d’accord ? Nous allons poursuivre avec le problème, on continue ?

A travers son discours, le professeur est implicitement en train de dire « oublions un petit peu cette réflexion, cette métacognition, et traitons de x et y » car il s’agit de ce qui est attendu lorsque l’on travaille l’algèbre avec une classe de 8e année. Cette proposition semble stabiliser pour un temps le contrat didactique et les élèves acceptent de se concentrer sur la résolution du problème.

Dans la 4e étape de notre recherche, nous avons montré au professeur l’enregistrement vidéo de cette leçon dans laquelle s’est produite une rupture du contrat didactique à la recherche d’éléments supplémentaires pour notre analyse. Lorsque nous avons demandé au professeur quel était l’objectif de cette stratégie de « mettre la question dans sa poche », il nous a répondu qu’il s’agissait d’une façon de maintenir les élèves concentrés pour, à la fin, répondre à la question du problème.

« Ça a été une façon de se concentrer aussi, de, comme ça ils ont perçu qu’à la fin pour qu’ils puissent répondre à la question, ils devaient être attentifs à ce processus, à ce cheminement que nous allions faire, à la recherche de cette solution… »

De plus, nous avons vu que la stratégie utilisée pour le professeur a fonctionné, ce qui montre la force du contrat pré établi  puisque les élèves sont entrés dans le processus de résolution, et ce n’est qu’à la fin du problème qu’ils sont revenus à la question du manque de sens entre la réponse et ce qui était demandé dans le problème. Ceci montre la force du contrat didactique institué dans la salle de classe où nous avons réalisé cette recherche, qui est passé rapidement d’un moment d’instabilité à une résolution tranquille et paraissant stable.

Un autre extrait du discours du professeur lorsqu’il a visionné la vidéo explique un peu la dynamique de sa classe et de la grande majorité des cours de Mathématiques, où sont travaillés des problèmes qui ont toujours une solution : « Mais on prend un problème sans solution, on va vouloir une solution cohérente de toute façon, on altère le problème ou on force, mais il faut qu’il y ait une solution. »

Il devient manifeste dans ce qu’il affirme que la recherche d’une solution par les élèves est légitime puisque cela fait partie du contrat didactique institué. Cet élément montre aussi la raison pour laquelle les élèves ont eu des difficultés à arriver à la conclusion finale – à savoir, que le problème n’avait pas de solution.

 

5. Considérations finales : 

Cette étude suggère que le contrat didactique traditionnellement négocié dans les salles de classe de Mathématiques ne favorise pas le développement des stratégies métacognitives. Elle suggère également que la conception du professeur à propos de l’enseignement-apprentissage des Mathématiques peut ou non conduire au développement des stratégies métacognitives. Le contrat didactique préétabli dans cette salle de classe enquêtée partait d’une conception insistant sur la pratique d’exercices (l’élève apprend en faisant des exercices)et nous percevons que cette conception peut dévier l’enseignement d’une action métacognitive de réflexion sur l’action.

Comme le montre la littérature, les moments de rupture sont des moments au cours desquels les règles du contrat sont mises en évidence et lors desquels des changements peuvent intervenir, ce qui argumente en faveur de l’importance de la rupture pour de nouveaux cheminements en salle de classe. Ainsi, la stabilité « éternelle » du contrat n’est pas désirable, au contraire la rupture est saine puisqu’elle rend possible des changements nécessaires.

Dans cette étude en particulier, la rupture a joué un rôle important dans l’émergence de stratégies métacognitives parce qu’elle a permis élèves d’élargir leur compréhension du problème.

Nous pouvons de plus observer que pour développer de stratégies métacognitives, il ne suffit pas de promouvoir des leçons participatives et interactives – avec des questions et des réponses – mais c’est bien la nature de cette interaction, à travers sa capacité à promouvoir ou non la réflexion, qui sera primordiale pour l’apparition de ces stratégies.

Toutefois, bien que les chercheurs pointent la métacognition comme une solution pour que les élèves vainquent leurs difficultés dans l’apprentissage des mathématiques, cette voie est relativement complexe car il est faut avant tout que le professeur soit disposé à rompre le contrat didactique traditionnellement institué dans les cours de Mathématiques puisque l’utilisation des stratégies métacognitives ne fait pas partie du quotidien de ces salles de classes.

 

Notes :


[1] L’étude de Sarrazy (1997) est la seule que nous ayons rencontrée traitant de ces deux phénomènes de manière conjointe, toutefois son approche de la métacognition diffère de celle que nous utilisons ici. Il s’agit d’une étude dans laquelle elle réalise une critique de la métacognition dans une approche de traitement de l’information, différente de celle de notre travail.


[2] La recherche bibliographique française a été réalisée dans les bibliothèques de l’Institut Universitaire de Formation des Maîtres– IUFM et de l’Institut National de Recherche Pédagogique - INRP - Lyon - France, durant le stage de doctorat-sandwich de l’auteure, financé par la CAPES.

 

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