376 - Construire et raconter des récits pour argumenter et prouver en classe de mathématiques.

 

 

376 - Construire et raconter des récits pour argumenter et prouver en classe de mathématiques.

 

Marianne Moulin

S2HEP EA 4148 - Université Claude Bernard Lyon 1, France

Eric Triquet

S2HEP EA 4148 - Université Claude Bernard Lyon 1, France

Virginie Deloustal-Jorrand

S2HEP EA 4148 - Université Claude Bernard Lyon 1, France

 

Mots clés : Mathématiques, Interdisciplinarité, Récit, Possibles explicatifs, Argumentation

Résumé : Dans le cadre d’une thèse, nous étudions l’apport d’activités de construction de récit dans des activités de résolution de problèmes en mathématiques. Prenant appui sur le cadre de Scardamalia & Beireiter (1998), nous formulons l’hypothèse suivante : la construction de récit couplée à une activité de résolution de problème mathématique peut permettre à des élèves d’école élémentaire (9-11 ans) d’engager, de structurer et de justifier le raisonnement suivi. Nous avons proposé à six classes de cycle trois (école française, élèves de 9-11 ans) de travailler sur des problèmes en lien avec un jeu de toupies. Via la construction de récits de parties réelles (effectivement jouées) et imaginaires, nous avons amené les élèves à émettre des conjectures sur les solutions possibles pour différentes contraintes (scores de chaque joueur à la fin de partie, nombre de parties, etc.). Notre analyse des récits produits par les élèves lors des échanges en classe nous permet d’étudier la manière dont les élèves construisent et utilisent le récit et son rôle dans l’activité mathématique proposé. En inscrivant le récit au sein même du milieu didactique (Brousseau, 1998), nous permettons ainsi aux élèves de s’affranchir du monde sensible pour raisonner dans un univers mathématique.

 

1. Introduction

 

Notre travail s’inscrit dans une recherche sur les interactions entre sciences, récit et langage et plus précisément sur l’étude des fonctions du récit dans la compréhension de phénomènes scientifiques. Suivant cette approche, des recherches ont mis en évidence les fonctions de problématisation et de modélisation du récit de fiction – via les notions d’intrigue et de mondes possibles – au niveau des apprentissages scientifiques (Bruguière & Herault, 2007 ; Bruguière & Triquet, 2012 ; Orange Ravachol, 2012 ; Triquet, 2007).

Dans le cadre d’une thèse en cours[1] nous étudions plus spécifiquement les apports d’activités de construction de récits dans des activités mathématiques en cycle 3. Nous avions dans un travail antérieur[2] mis en évidence les apports de la lecture de récits dans un travail de compréhension d’énoncés de problèmes. Une réflexion avait pu être engagée sur la modélisation du monde de référence de ces énoncés à l’intérieur du monde mathématique (Moulin, 2010 ; Moulin & Al., 2012). Les perspectives ouvertes par cette première étude nous ont incités à nous intéresser à la production de récits dans le cadre de la résolution de problèmes. Nous avançons l’hypothèse, que dans une situation de résolution de problème, l’engagement dans une tâche liée à la construction d’un récit peut permettre à l’élève d’enclencher, de structurer et de justifier son raisonnement. Dans cet article, nous présentons un aspect de ce travail centré sur l’interaction entre construction de récits explicatifs et émission et justifications de conjectures mathématiques.

 

2. Éléments théoriques sur le récit

 

Lorsqu’il est question de récit, on pense tout d’abord à un objet linguistique, racontant une histoire et exhibant des caractéristiques de forme singulières. Cependant, il existe deux niveaux permettant de considérer le récit. Le premier, voit le récit comme un objet, qui peut être mobilisé en tant que tel par les élèves. Le second, aborde le récit sous l’angle de son élaboration, comme mode de pensée, au regard des fonctions heuristiques et structurantes mises en avant par plusieurs  chercheurs. En nous appuyant sur le travail de Genette (1972)et Bruner (2008), nous définissons le récit comme une production, orale ou écrite, relatant une succession d’événements organisés autour d’un élément problématique.

 

 2.1 Fonctions structurantes et heuristiques de l’élaboration de récit

Bruner nous le rappelle, « il est possible de distinguer avec précision ce qui appartient au mode de pensée narratif de ce qui est texte ou discours narratif » (Bruner, 2008, p. 166). Cependant, les deux sont intiment liés et les caractéristiques de l’objet récit s’expriment dans les processus de pensée permettant de le comprendre, de le construire et inversement. Nous nous intéressons ici à trois caractéristiques du récit : la structure narrative, l’intrigue et la dimension fictionnelle.

Les récits possèdent des caractéristiques structurelles (Larivaille, 1974 ; Reuter, 2009)qui leur sont propres. Dès lors, la réception d’un récit, tout comme sa production, impliquent des processus cognitifs de reconnaissance et de reproduction de cette structuration. La structure de base du récit s’organise toujours autour d’une intrigue. C’est en effet lorsqu’une brèche apparaît dans l’ordre des choses (un événement perturbateur) qu’une histoire commence (Bruner, 2005). L’intrigue est alors considérée comme une question à laquelle il faut tenter de répondre du fait de cette complication initiale à résoudre. La résolution de l’intrigue correspond alors à un enchaînement (plus ou moins complexe) d’actions proposé par le récit permettant de retrouver un état d’équilibre.  Le questionnement provoqué par l’événement perturbateur est suivi d’une phase de résolution qui amène la construction d’explications. Pour Ricœur (1983, 1984)le récit a par ailleurs cette capacité d’organiser le disparate en un tout cohérent (holos). La réception comme la production d’un récit impose de donc (re)construire les relations temporelles, spatiales et causales des événements mis en scène.

Selon Eco (1985), le récit conduit à envisager différents possibles explicatifs, donc à émettre, si l’on se situe sur le terrain scientifique, des conjectures ou hypothèses. En interrogeant leur pertinence dans le monde de référence (monde réel, monde mathématiques) elles entrainent le lecteur ou le rédacteur dans un processus de questionnement des phénomènes en jeu, et même de problématisation via la mise en tension opérée. Ainsi, nous nous intéressons dans cet article à trois fonctions du récit : la structuration, l’explication et la problématisation.

 

2.2 Processus de transformation des connaissances mathématiques et production de récit

Nous prenons appui sur le cadre de Scardamalia & Beireiter (1998) lequel postule que lors de la rédaction d’un texte, les interactions entre l’espace rhétorique (inhérent à la construction du texte) et l’espace du contenu (relatif aux savoirs disciplinaires) conduisent à la mise en jeu de fonctions cognitives élevées et à une transformation de ses connaissances en jeu dans les deux domaines. Du fait des fonctions que nous venons de présenter, la construction d’un récit mettant en jeu des éléments mathématiques (ou d’un autre champ disciplinaire) conduit le rédacteur à un travail sur ses connaissances mathématiques (disciplinaires). Les différentes contraintes, imposées par la demande du récit, conduisent le rédacteur à reconsidérer ses connaissances disciplinaires.

Le travail de Julo (1995, 2002) s’intéresse quant à lui aux actions de verbalisation des actions dans le cadre de la résolution de problème via le processus de représentation. Julo (1995) détaille cette question en indiquant que comprendre quelque chose ce serait en construire une représentation. D’après lui il existe nécessairement des liens étroits et une dynamique commune entre la manière dont on cherche la solution et la manière dont on interprète le problème, entre les procédures et les stratégies que l’on élabore et la représentation que l’on se construit, entre les connaissances qui vont servir à agir et celles qui vont servir à comprendre le problème. La représentation du problème est donc le résultat d’une véritable activité mentale mettant en œuvre tout un ensemble de processus chargés de traiter les informations du problème. Il distingue trois processus dans la représentation d’un problème : Le processus d’interprétation et de sélection, le processus de structuration (la représentation forme un tout cohérent qui se structure) et le processus d’opérationnalisation (qui donne un passage à une action effective). La structuration est renforcée lorsqu’on demande aux élèves de verbaliser leurs actions de résolution, de se représenter le problème sous forme d’images mentales. Julo développe l’idée que ces processus sont simultanés et interagissent.

Les deux approches envisagent la reconsidération des connaissances mathématiques (disciplinaires). Elle est imposée par la rédaction pour Scardamalia et Beireiter et par l’interprétation et la verbalisation pour Julo. Ainsi, nous pouvons anticiper que la construction d’un récit visant à répondre une situation problématique dans le domaine des mathématiques peut être un outil de structuration, d’explication et de problématisation du raisonnement.

 

3. Présentation de la situation

Dans le cadre de notre travail de thèse, nous avons mis en place une expérimentation  afin de tester différents aspects des interactions entre récit et raisonnement mathématique. Celle-ci s’appuie sur un jeu de toupies dans lequel deux joueurs s’affrontent selon les règles ci-après.

 

Image 1

Figure 1 : Toupies

Figure 2 : Stadium

La partie est découpée en manches. Au signal, les deux joueurs lancent leur toupie (Figure 1) dans un stadium en même temps. Celui ci comporte une zone de jeu et deux zone de pénalité (Figure 2). La manche se termine quand :

- une des toupies ne tourne plus

- une des toupies est en zone de pénalité.

- une des toupies n’est plus dans le stadium

- un joueur touche le stadium

Quand la manche est terminée on distribue les points (les règles s’appliquent dans l’ordre, dès qu’un point est attribué ou enlevé on passe à la manche suivante) :

- 1 pour le joueur qui lance sa toupie en dehors du stadium ;

- 3 pour le joueur qui touche le stadium durant la manche ;

+ 3 pour le joueur qui envoie la toupie de son adversaire hors du stadium ;

+ 2 pour le joueur qui coince la toupie de son adversaire en zone de pénalité ;

+ 1 pour le joueur dont la toupie s’arrête en dernier.

Le premier joueur qui a 7 points (ou plus) gagne la partie.

 

3.1 Structure mathématique et logique de la situation

De par son déroulement – une suite de manches amenant des gains et des pertes de points – ce jeu dispose d’une structure qu’il est possible de déterminer entièrement via l’application de règles mathématiques. Celle-ci porte sur les scores des joueurs, le nombre de manches et différentes relations entre les deux. Elle se définit en fixant les possibles et les impossibles de la situation. Par exemple, il n’est pas possible pour un joueur d’atteindre un score supérieur ou égal à dix points. En effet, la partie se termine dès qu’un joueur atteint un score supérieur ou égal à sept points. Or, le maximum de points qu’il est possible de gagner en une manche est limité à trois. Ainsi, un  joueur qui aurait six points (le score maximum permettant de continuer la partie) ne pourrait atteindre, au maximum, qu’un score de 9 points. La partie serait alors terminée. Par des suites de raisonnement mathématiques et logiques on peut définir que le score du vainqueur d’une partie est toujours compris entre 7 et 9 point et qu’il faut jouer un minimum de trois manches pour terminer une partie. Ces trois propriétés forment avec d’autres la structure mathématique et logique de la situation. C’est sur cette structure, qui constitue une axiomatique locale au sens de Tarski (1969)que nous avons construit nos activités et notre milieu didactique.

3.2 Construction de récits

Lors de notre expérimentation, nous avons proposé aux élèves des activités invitant à la construction de récits. Nous leur avons par exemple demandé d’inventer des récits de parties imaginaires contraintes par le score ou le nombre de manches. Ainsi en leur demandant de « raconter une partie dans laquelle le vainqueur termine avec 8 points », nous amenons les élèves à construire une suite d’événements. Nous reproduisons ci-dessous deux productions d’élèves sur cette question : 

Les deux productions sont bien des récits dans le sens où nous l’avons défini. On repère en effet une succession d’événements organisée vers l’obtention d’un score de 8. Il faut noter que la forme des textes, plus ou moins romancée, n’est pas un critère déterminant. Une succession de scores peut, dans notre travail, être considérée également comme un récit. Elle relate, à sa manière, des événements, entièrement définis en respectant un objectif. Dans toute la séquence, les récits produits par les élèves sont contraints bien évidemment par la consigne donnée (un score, un nombre de manches) mais également, et surtout, par les règles du jeu. Toujours sur le même exemple, il n’est pas possible d’imaginer une partie dans laquelle la dernière manche serait « ma toupie tourne plus longtemps, je marque un point et j’ai 8 points ». En effet, cet événement impose un score de 7 points à la manche précédente ce qui provoque la fin de la partie. Les récits, pour être valables, doivent donc s’inscrire dans la structure mathématique de la situation.

3.3 Caractérisation du  milieu

Toutes les activités que nous avons imaginées et proposées aux élèves sont relatives à la résolution de problèmes. Via la production ou l’utilisation de récits de parties nous les avons notamment amenés à :

- Organiser des données en racontant une partie effectivement jouée ;

- Sélectionner des informations pour construire une partie en 5 manches ;

- Émettre des conjectures sur la structure des parties réalisables ;

- Justifier et prouver un résultat en s’appuyant sur des récits de parties.

À noter que même si nous les présentons séparément ces tâches sont liées. Il n’est par exemple pas possible de sélectionner des informations sans entrer dans un travail de preuve (Houdement, 1999).

L’interaction entre la structure du jeu et la structure des récits possibles conformément à cette structure nous permet alors de construire un milieu (Brousseau, 1990)à l’intérieur  duquel les élèves peuvent produire leurs résultats via leurs récits et les valider grâce aux règles mathématiques et logiques qui régissent la situation. Le milieu inclut alors l’ensemble des parties réalisables conformément à l’axiomatique locale  (schéma 1). La construction de ce dernier, via l’interaction entre la structure du jeu et la production du récit, constitue l’originalité de notre expérimentation.

Schéma 1 : Construction du milieu

En accord avec notre cadre théorique, la construction de récit couplée à une activité de résolution de problème produit alors un milieu permettant aux élèves de s’engager, de structurer et de justifier le raisonnement suivi. Pour tester cette hypothèse, nous nous plaçons dans le cadre méthodologique de l’ingénierie didactique proposé par Artigue (1988). Celui-ci nous permet de confronter les potentialités de notre milieu, via une analyse des choix effectués déterminant les « possibilités d’action, de choix, de décision, de contrôle et de validation dont [l’élève] dispose » (p. 258), aux productions effectives des élèves. Ainsi, nous pouvons valider, de manière interne, notre hypothèse grâce à la confrontation entre analyse a priori et analyse a posteriori. Nous présentons une partie des résultats de ce travail d’ingénierie didactique dans les deux points suivants grâce à l’analyse d’une séance où les élèves devaient émettre et justifier des conjectures.

 

4. Éléments d’analyse a priori : Émettre et justifier des conjectures grâce au récit  

 

4.1 Présentation des conjectures

Nous nous concentrons sur une séance dans laquelle les élèves devaient exprimer et démontrer deux conjectures. Celles-ci portent sur l’existence (ou non) d’un nombre minimum et ou maximum de manches dans une partie. La séance se déroule à l’oral, c’est l’enseignant qui mène le débat en demandant aux élèves :

  • Le nombre de manches minimum pour qu’une partie se termine. Il est nécessaire de jouer aux moins trois manches pour terminer une partie (minimum égal à 3). En effet, sachant qu’il est possible de gagner au maximum trois points par manche, il faudra un minimum de trois manches pour atteindre un score supérieur ou égal à sept. Pour démontrer cette conjecture les élèves doivent montrer qu’il est possible de terminer une partie en trois manches (par mise en évidence d’un exemple) et montrer qu’il n’est pas possible de terminer en seulement deux manches.
  • Le nombre maximum de manches qu’il est théoriquement possible de jouer sans terminer une partie (pas de maximum). Il est possible qu’une partie ne se termine jamais. Les joueurs peuvent en effet perdre des points régulièrement et ainsi ne jamais atteindre un score de sept points. 

Les enseignants avaient le choix de l’ordre pour le traitement de ces deux questions. La contrainte que nous avons imposée était de favoriser le recueil de conjectures et la confrontation entre les réponses des élèves dans le but d’amener les élèves à les justifier. La mise en récit n’est pas imposée dans les consignes, cependant ce sont les constructions de récits que nous allons rechercher dans les interactions orales.

 

4.2 Hypothèses de recherche

Dans cette séance, nous cherchons à voir, d’une part, si les élèves produisent et utilisent des possibles explicatifs, c’est à dire des récits permettant d’expliquer de manière cohérente une situation problématique. D’autre part si ceux-ci leur sont une aide au raisonnement. Nous attendons deux formes de possibles explicatifs : Des récits d’évocation de parties réelles, effectivement jouées dans les séances précédentes ; Des récits d’anticipation  de parties imaginaires, qui n’ont pas eu lieu dans la classe, mais qui pourraient se réaliser (comme présentés en 3.2).

Nous faisons l’hypothèse que les élèves peuvent :

  • H1 : S’appuyer sur les récits de parties réelles pour anticiper des résultats ;
  • H2 : Imaginer des récits de parties imaginaires pour émettre des conjectures ;
  • H3 : Utiliser des récits de parties pour justifier un résultat ;
  • H4 : Confronter ces récits à la structure mathématique de la situation pour les valider ou les invalider.

 

4.3 Description et découpage du corpus

Nous avons réalisé notre expérimentation dans 6 classes de cycle 3 (élèves de 9 à 11 ans) en juin et décembre 2012. Le corpus que nous analysons ici est composé des transcriptions orales des 6 séances, d’une vingtaine de minutes chacune, référencées de C1 à C6. Nous recherchons dans les interactions entres élèves et avec l’enseignant des possibles explicatifs tels que nous les avons décrits dans le point précédent. Pour favoriser les échanges, nous n’avons pas proposé de trame précise aux enseignants sur cette séance, les laissant ainsi maîtres de la progression. Nous débutons donc notre analyse par un découpage en épisodes, basé sur les questions de l’enseignant. Nous sommes ainsi en mesure de repérer la demande de l’enseignant (analyse, conjecture, justification, exemple). Nous avons repéré six types de questions qui sont récurrentes dans les classes :

  • Analyse de parties réelles : Exemple : Combien y a-t-il eu de manches dans les parties que vous avez jouées ? (C1)
  • Émission de conjecture : Exemple : Combien y a-t-il de manches au minimum dans une partie ? D’abord je veux les avis. (C4)
  • Émission de conjecture à partir de parties réelles. Exemple : Au maximum vous avez quatorze manches, est ce qu’on aurait pu en faire plus ? (C3).
  • Justification d’une proposition. Exemple : Est-ce que quelqu’un peut m’expliquer pourquoi on peut aller jusqu’à l’infini ? (C2).
  • Production d’un exemple. Exemple : Si tu racontes l’histoire, ça se passe comment ? (C3).
  • Recherche d’approfondissement. Exemple : Est-ce qu’elle est obligée de gagner trois points à la dernière manche pour gagner ? (C5).

Ce découpage nous permet de définir la progression de chaque séance en repérant l’objectif de l’épisode. Ainsi, nous pouvons analyser les choix des élèves dans l’utilisation des récits selon la nature des interventions : proposer un résultat, un exemple ou une justification.

 

4.4 Croisement des hypothèses et des types de questions

Au regard des questions de l’enseignant et des formes d’utilisations du récit définies dans nos hypothèses, nous caractérisons les possibilités d’interactions entre possibles explicatifs  et émission et justification de conjectures :

  • Utilisation d’un récit de partie réelle pour :
    • Anticiper sur des parties potentiellement réalisables pour émettre une conjecture ;
    • Proposer un exemple (ou un contre exemple) pour valider (ou invalider) une conjecture ; La validation (ou non validation) se fait par la confrontation entre le récit et les contraintes de la question.
  • Construction d’un récit de partie imaginaire pour :
    • Combiner des événements pour émettre une conjecture ;
    • Produire un exemple (ou un contre exemple) pour valider (ou invalider) une conjecture ; La validation (ou non validation) se fait par la confrontation entre le récit,  la structure mathématique de la situation et les contraintes de la question.

Pour la première conjecture (sur le nombre minimum de manches) les élèves devraient ainsi être en mesure d’imaginer un récit de partie en trois manches. Ils montreraient alors qu’il est effectivement possible de terminer une partie en trois manches. On peut également penser que, la structure de la situation (avec l’impossibilité de gagner plus de trois points par manche) devrait entrer en contradiction avec la possibilité de raconter une partie en deux manches. Pour la seconde conjecture (sur la possibilité théorique d’une partie infinie), les élèves seront libres d’imaginer, dans le cadre du récit, des parties de plus en plus longues. Le caractère fictionnel du récit permet alors de s’affranchir de la réalité, tout en restant conforme à la structure de la situation, pour envisager un nombre maximum de manches de plus en plus élevé.

 

5. Analyse des échanges dans les classes : Épisodes caractéristiques

 

Le découpage en épisodes et l’analyse de l’utilisation par les élèves des possibles explicatifs durant les échanges met en évidence les rôles effectivement joués par le récit lors de la séance. Ceci nous permet de définir des épisodes caractéristiques relatifs aux fonctions des récits dans la séance. Nous les présentons ci-après, accompagné d’extraits de transcriptions[3]. Comme nous l’avons indiqué précédemment (voir 3.2), nous nommons récit toutes les productions orales des élèves qui relatent une succession d’événements, organisée dans l’objectif d’atteindre un score ou un nombre de manches prédéfini. Ainsi, la construction d’une suite de scores, tout comme la description orale romancée d’une partie sont considérées de la même manière comme des récits.

 

5.1 Utilisation des récits de parties réelles (construits dans les séances précédentes)

Il s’agit d’étudier la manière dont les élèves (ré)utilisent les récits de parties qu’ils ont rédigés dans les séances précédentes. De par l’organisation de la séquence complète, les élèves ont, en amont de cette séance, joué et raconté une partie. Récit qu’ils ont ensuite comparé avec ceux de leurs camarades en s’attachant à définir des points communs et des différences entre les parties. Dans notre analyse a priori, nous avons anticipé deux types d’utilisation de ces récits d’évocation d’une partie réelle :

  • Anticiper sur des parties potentiellement réalisables pour émettre une conjecture ;
  • Proposer un exemple (ou un contre exemple) pour valider (ou invalider) une conjecture ; La validation (ou non validation) se fait par la confrontation entre le récit et les contraintes de la question.

Les élèves ont, comme nous l’avons imaginé, mis en jeu à l’oral leurs récits écrits de parties réelles. Ils ont pointé différents aspects caractéristiques de leurs récits (la situation finale présentant les scores et le nombre de manches, l’occurrence d’un événement, la succession des événements, les habitudes de jeu permettant d’expliquer le déroulement de la partie). Ils ont effectivement utilisé leurs récits comme des éléments d’argumentation (positifs ou négatifs) grâce à la proposition d’exemples ou de contre-exemples.

 

Extrait 1 : Utilisation de la fin d’un récit écrit en tant que contre-exemple

Un élève conjecture que le nombre de manches d’une partie ne peut pas être supérieur à 7. Un élève rappelle alors que dans une des parties jouées, deux élèves ont fait 14 manches, invalidant ainsi la conjecture.

  • P6 : Au bout de sept manches la partie est forcément terminée ?
  • E6 : Valentin et Clément ont fait 14 manches.

Le contre-exemple est amené par le rappel du récit présenté par deux élèves de la classe. La situation finale de ce récit (Valentin et Clément ont fait 14 manches) devient alors un élément d’argumentation contre une conjecture erronée.

 

Extrait 2 : Utilisation d’un événement extrait d’un récit en tant qu’exemple

Un événement utilisé pour produire une conjecture est mis en doute. Le récit d’une partie réelle permet alors de prouver à toute la classe que cet événement peut effectivement se produire : 

  • P6 : Est-ce que c’est possible [de marquer trois points d’un coup] ?
  • E6 : Y a Hugo qui m’a éjecté.

Le récit de la partie d’Hugo montre à ses camarades la possibilité d’occurrence de l’événement mis en doute. Il met en évidence la relation entre le fait de gagner trois points d’un coup et le fait d’éjecter la toupie de son adversaire. Il permet ainsi de prouver l’existence d’un événement utilisé dans la conjecture d’un autre élève.

 

Les élèves n’ont pas toujours utilisé un seul récit à la fois. Ils ont également repéré des régularité dans le déroulements des parties et ainsi défini ce que nous pouvons appeler des conditions d’existence (ou non) de certaines successions d’événements. Pour émettre des conjectures, il est nécessaire de se détacher de la réalité et donc des parties effectivement jouées. Concernant la possibilité théorique d’obtenir une partie infinie, on peut voir dans les exemples ci-dessous que les élèves s’attachent aux parties qu’ils ont réalisées.

Extrait 3 : Rappels des parties réalisées

  • E1 : La partie où il y a eu le plus de manches c’est la partie a trois joueurs, à deux ce n’est pas possible [d’en faire autant].
  • E2 : Ca s’arrête à un moment ;
  • E2’ : Y a pas assez de temps ;
  • E2’’ : Quand tu lances tu gagnes des points.
  • E3 : Ce n’est pas possible parce qu’au bout d’un moment c’est obligé qu’une toupie marque des points.

On  peut remarquer qu’il ne s’agit pas ici d’impossibles mathématiques. Ce sont les faits et les circonstances qui empêchent les élèves d’envisager, dans un premier temps, un autre déroulement. Cette démarche se rapproche de ce que nous avions envisagé comme une anticipation des parties potentiellement réalisables. Cependant pour pouvoir proposer des conjectures, les élèves doivent se détacher des parties réelles. C’est la construction de récits de parties imaginaires qui leur a permis de le faire comme nous le verrons dans les points suivants. Les récits des parties réelles ont permis aux élèves  de :

  • Proposer des exemples et des contre-exemples ;
  • Déterminer des conditions d’existence et de non existence d’une situation.

Ainsi, comme nous en avions fait l’hypothèse (H1), les élèves s’appuient sur les parties réelles pour contrôler des résultats, via des exemples et des conditions d’existence. De plus, ils utilisent ces récits comme des exemples pour justifier leurs conjectures.

 

5.2 Construction et utilisation d’un récit de partie imaginaire

Nous abordons ici la construction et l’utilisation d’un récit de parties imaginaires pour produire et justifier des conjectures. Les deux processus (construction et utilisation) sont concomitants, les élèves les construisent lorsqu’ils en ont besoin pour produire leurs réponses. Nous avons repéré plusieurs manières de produire un récit de partie imaginaire que nous présentons ici :

  • Méthode 1 : En partant d’un récit écrit d’une partie réelle, l’élève remplace un événement par un autre pour satisfaire aux conditions qui l’intéressent. Par exemple, pour déterminer le nombre minimum de manches à réaliser, un élève propose de faire gagner plus de points en une manche à son personnage : dans la première manche, au lieu de marquer un point, elle en marque deux  (C1). Ainsi, les points s’accumulent plus vite et la partie est plus courte. La production du récit imaginaire lui permet d’envisager une partie comportant moins de manches. A l’inverse, en proposant un événement faisant perdre des points, la partie s’allonge : si celui qui avait six manches avait fait moins un [à une manche] ils auraient du faire quinze manches [au lieu de quatorze] (C3). On est bien ici dans la production d’un récit de partie imaginaire, même s’il ne s’agit que d’une légère modification. La prise en compte de la demande de l’enseignant, déterminer le nombre minimum ou maximum de manche, amène l’élève à reconsidérer la succession des événements.
  • Méthode 2 : Par répétition d’un événement qu’il soit caractéristique d’une partie réelle ou non. Valentin lançait tout le temps à coté (…) si l’adversaire lance tout le temps à coté personne ne gagne de points (C6). À chaque fois on fait moins trois (C2). Ici, on assiste à la construction de deux récits répétitifs, permettant d’imaginer une partie infinie.
  • Méthode 3 : En construisant, du début à la fin une suite d’événements. C’est alors la structure du récit qu’il est intéressant d’étudier.  C’est sur cet aspect que nous porter notre attention dans les exemples suivants.

Les deux conjectures ne se démontrant pas de la même manière (4.1), nous les traitons séparément dans la suite de l’article.

 

5.2.1 Nombre minimum de manches : Conjecture via un récit de partie imaginaire

Comme nous l’imaginions, c’est la construction d’un récit de partie imaginaire en trois manches qui permet aux élèves de conjecturer sur le nombre minimum de manches. Dans les parties qu’ils avaient réalisées, aucune partie ne comprenait moins de 5 manches. Ainsi, en utilisant la première méthode de construction que nous avons présentés, ils ont fait diminuer le nombre de manches en faisant gagner plus de points aux deux joueurs, devenus les personnages de leur récit. Par suite, ils ont été capables d’inventer directement des récits en trois manches :

  • En proposant une suite de scores : Trois trois un ou trois trois deux (C1).
  • Par succession d’événements :
    • On peut faire (…) trois manches aussi. Si on fait trois manches. On fait trois, trois, ça fait déjà six et on prend un point (C2).
    • Elle est à trois points, trois et trois six et un (C3).
  • Par répétition d’une manche : On peut faire trois fois trois égal neuf (…) en trois manches ( …) chaque manche on met trois points (C3).

Ces récits, plus ou moins succincts, permettent donc aux élèves d’imaginer qu’il est possible de réaliser une partie en trois manches et également de le justifier. Notre seconde hypothèse (H2 : Imaginer des récits de parties imaginaires pour émettre des conjectures) ainsi que notre troisième (H3 : Utiliser des récits de parties pour justifier un résultat) sont ainsi vérifiées.

 

5.2.2 Nombre minimum de manches : Confrontation entre la structure du récit et la structure mathématique

Pour justifier qu’une partie ne pouvait pas se terminer en deux manches, les élèves ont confronté la structure d’un récit en deux manches à la structure de la situation. Ainsi, le récit leur permet d’envisager la situation et de déterminer les conditions de faisabilité. Pour atteindre un score de sept points en 2 manches, il faudrait pouvoir gagner au minimum 4 points dans une des manches. C’est un événement qui est impossible à réaliser en respectant les règles du jeu et donc la structure mathématique et logique de la situation.

Extrait 4 : Récit de partie imaginaire bloqué par la structure de la situation

Trois minimum, parce que c’est … on ne peut pas faire deux parce que … Pour faire en deux manches il faudra … y a quoi qui fait trois, quatre y a pas (…) il faudrait quelque chose qui fait (…) 4 points et y a pas (C4).

On voit que l’élève essaye de construire un récit de partie (Pour faire en deux manches (…) il faudrait quelque chose qui fait (…) 4 points) qu’il confronte immédiatement à la structure de la situation (mais y a pas). L’impossibilité de construire le récit lui permet également d’expliquer pourquoi le nombre de manches minimum est effectivement trois. C’est ainsi que nous pouvons valider notre dernière hypothèse (H4).

 

5.2.3 Nombre maximum de manches : Conjecture via la construction d’un récit de partie imaginaire infinie  

Ici il n’est pas possible de s’appuyer sur un récit construit grâce à une suite de manches (comme dans le point 5.2.1). C’est donc, en déterminant la structure du récit, qu’ils peuvent argumenter. Nous avons relevé trois types de structures : 

  • Annulation de scores grâce à des événements opposés :
    • On aurait pu faire plus un moins un, plus un moins un (C1).
    • Il gagne trois points en éjectant et après il touche le stadium, il a zéro (…) Il tourne plus longtemps et après il lance à coté (C2).
    • Si on gagne un point et si on en perd un ; ça fait plus un moins un (C3).
  • Succession d’événements permettant de perdre des points :
    • Parce qu’à chaque fois on fait moins trois (C2).
    • On peut faire des moins (C3).
  • Construction d’un cycle : Plus trois, moins un, plus deux (…) il a quatre,  moins trois et moins 1 et il se retrouve à zéro.

En se basant uniquement sur la structure du récit, les élèves peuvent construire une succession d’événements organisée autour d’une problématique mathématique qu’il est possible de la manière suivante : comment faire durer une partie le plus longtemps possible ? Ainsi, la production d’un récit, via sa structure leur permet d’émettre et de justifier leur conjecture (H2, H3 et H4).

 

6. Conclusion

 

Ces résultats nous permettent de caractériser, comme nous le souhaitions, les apports du récit support de la pensée dans la construction et la justification de conjectures. Nous avons questionné la manière dont les élèves utilisent la production de récits dans des situations problématiques. En intégrant le récit dans le milieu didactique (Brousseau, 1998), nous amenons les élèves à s’affranchir de la réalité pour raisonner dans un univers abstrait. La prise en charge d’un possible ou impossible explicatif, via la construction d’un récit, leur permet de raisonner et ainsi de conjecturer et d’entrer dans une démarche preuve. La référence au réel (les parties effectivement jouées) reste cependant présente chez les élèves. Lors de l’exploration de parties infinies certains  d’entre eux ont objecté en s’appuyant sur la réalité. Moi je dis que c’est pas possible parce qu’au bout d’un moment y aura … c’est obligé qu’il y ait une toupie qui marque des points (C2). C’est ici, la répétition d’événements plutôt rares dans la réalité (la perte de points) qui interpelle les élèves. Cependant, une fois replacées dans un contexte imaginaire autorisé par le récit, les parties infinies sont acceptées par tous les élèves.

D’une manière plus générale, c’est l’ensemble des fonctions du récit qu’il est possible de mobiliser dans le cadre de la résolution de problèmes. L’organisation, l’explication, l’argumentation ou encore la modélisation sont des processus inhérents à la fois au récit et à la résolution de problèmes. Les possibilités d’interaction entre ces deux domaines laissent imaginer un développement conjoint, chez les élèves, des capacités de construction de récit et de résolution de problèmes.

 

Références :

 

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[1] Marianne Moulin S2HEP

[2] Mémoire de recherche, Des textes de fiction pour lire les énoncés de problèmes de mathématiques en classe de CM2 : Explicitation des contrats en jeu. (Moulin, 2010)

[3] Dans les transcriptions des échanges, les numéros correspondent à la classe (de 1 à 6), le P aux paroles de l’enseignant, et le E à celles des élèves.