329/1 - Connaissances cachées en résolution de problèmes arithmétiques

Catherine Houdement

Laboratoire de Didactique André Revuz (LDAR), Universités Paris Diderot et Rouen, France

Mots clés : problèmes arithmétiques, contrôles, qualification

Le thème de la résolution de problèmes arithmétiques est un sujet qui nous préoccupe depuis plusieurs années. En effet c’est une forme didactique incontournable et pérenne dans l’école obligatoire qui soulève des difficultés d’enseignement récurrentes dénoncées par les enseignants et pointées par les recherches, par exemple  une « mise en parenthèses du sens » de la part des élèves (par exemple Verschaffel & De Corte, 2000,2008). Fin des années 1990, nous avons été effrayée par l’inflation française, dans les ressources pédagogiques, des aides dites méthodologiques pour apprendre à résoudre des problèmes (rechercher des informations utiles avant de traiter le problème ou appliquer un algorithme de résolution général,…) aux dépens de résolutions effectives et dans l’ignorance de la nécessité de connaissances mathématiques pour les résoudre (Houdement  1999, Coppé & Houdement 2001). Nous avons interprété l’introduction de telles stratégies d’enseignement dans les manuels et de façon indirecte, dans les curricula (de 1985 à 2002) comme un pis-aller, à défaut de recherches didactiques sur l’aide à la résolution de problèmes. Nous avons dénoncé le manque de vigilance épistémologique et cognitive de ces approches, à l’instar de Sarrazy (2003, p.97) qui parle même de « démathématisation » et dénonce une confusion de genres « apprendre à résoudre un problème ne saurait être confondu ni avec la résolution elle-même, ni avec l’apprentissage des connaissances nécessaires à sa résolution. ». Mais comment aider les enseignants à faire travailler leurs élèves sur des problèmes ?

Notre recherche vise c à comprendre, d’un point de vue didactique,  ce que les élèves font lors de la résolution d’un problème arithmétique, en plus ou a côté des connaissances mathématiques qu’ils y injectent. Qu'est ce qui fait que lors de la résolution de problèmes (arithmétiques ordinaires, de réinvestissement) les élèves ne réussissent pas de la même façon ?

Nous faisons l’hypothèse que certains élèves ont construit des connaissances qui s’avèreraient nécessaires aux apprentissages (jusque là, rien de très original) mais qu'un certain type de connaissances (leur utilité, leur fonctionnalité) reste ignoré des enseignants et des chercheurs, selon la problématique des connaissances cachées (Castela 2008).   

La question retenue pour l’étude est la suivante : quelles idées, dans le temps court de la résolution d’un problème numérique viennent ou ne viennent pas à l’esprit de l’élève, provoquant ainsi une avancée vers la réponse ou au contraire un blocage ?

Nous avons travaillé avec des élèves de  8 à 11 ans d'école primaire française (cycle 3, grades 3 à 5), de deux classes différentes, ayant résolu des problèmes arithmétiques sollicitant des connaissances déjà là a priori, les problèmes ayant été choisis par l’enseignant, dans le cadre de sa progression usuelle. La singularité a été saisie à l’occasion d’entretiens individuels de type explicitation (Vermersch 1994), l’élève ayant sous les yeux la copie rendue (éventuellement corrigée) et son éventuel brouillon.

Les résultats que nous avons obtenus entrent en résonance avec d'autres travaux ou ouvrent de nouvelles pistes de recherche.

L’inférence « automatique », c'est-à-dire sans que les élèves ne puissent justifier leur choix, de la « bonne » opération ou du « bon » champ conceptuel conforte l’approche psycho-cognitive de Julo (1995, 2002) et Vergnaud (1990).

Il semblerait que l’opération arithmétique soit considérée par certains de ces élèves comme un modèle dont il s’agit de contrôler l’application, comme dans une démarche expérimentale (Houdement 2012). Les élèves calculent avec une opération, celle pressentie la plus adaptée à l’interprétation qu’ils font du problème, ils obtiennent ainsi une résultat. Ce résultat fait l’objet de contrôles ; s’il résiste à ces contrôles ou à certains d’entre eux , il est retenu ; sinon il est suivi d’un nouveau calcul avec une autre opération. Nous voyons en acte fonctionner une dynamique de  modélisation pour les problèmes classiques, confirmant la potentialité vue par Verschaffel & al (2008).

Nous avons dégagé plusieurs types de contrôles, en réalité d’inférences et de contrôles, qui peuvent alors s'exercer pour décider d’un modèle (Houdement, 2011) : pragmatique (part de l’interprétation par l’élève liée au domaine d’expérience évoqué dans l’énoncé), sémantique (part de l’interprétation par l’élève liée à l’opération mise en œuvre) et syntaxique (part de l’interprétation liée à l'inférence et au bon usage des symboles mathématiques, appuyés uniquement sur les nombres, pas sur les grandeurs en jeu).

Il est intéressant de remarquer que ce modèle de description des actions des élèves, inférence d’une opération et jeu de contrôles, permet aussi de décrire les réponses erronées, le choix d’une opération inadaptée, trop vite qualifiés d’incompréhension du problème : l’élève a aussi modélisé, mais sans contrôler son modèle. Il a rempli une partie du contrat classique lié aux problèmes arithmétiques : en effet l’enseignant attend que les élèves modélisent par une opération. Comment lui apprendre à remplir aussi l’autre partie, contrôler la pertinence du modèle ? On voit tout l’enjeu d’une enseignement  focalisé sur les contrôles.

Le jeu sur les inférences et contrôles du moins sémantiques et pragmatiques nécessitent que l’élève ne coupe pas le travail numérique nécessaire  du contexte du problème : on voit ainsi des élèves faire un calcul intermédiaire adapté, mais ne pas l’utiliser correctement dans la suite, faute de l’avoir qualifié. La qualification consiste à savoir (et à ne pas oublier) de quelle grandeur contextualisée dans le problème le nombre calculé est la mesure (par exemple le 72 calculé correspond à 72 € _ qualification faible_  prix payé par les enfants à la séance du matin –qualification) . Tous les élèves ne sont pas égaux relativement à cette connaissance.

Les inférences et contrôles syntaxiques relèvent d’une dimension plus formelle : rentrent dans ce champ le fait  de savoir écrire la question de façon à planifier la recherche du résultat, par exemple sous la forme  a+ ?=b ou c x ?=d, qui pourrait permettre de trouver par essais successifs ou par  transformation en l’opération directe (calcul de b-a ou de d/c )

En conclusion

La méthode d’entretien individuel utilisée donne ainsi des éléments du processus différenciateur entre élèves. Elle débusque des connaissances utilisées par certains élèves  et qui manquent à d’autres, par exemple la qualification, pourtant hautement nécessaire dans la résolution de problèmes verbaux. Elle met à jour une stratégie de résolution des problèmes arithmétiques verbaux, jusque là connue chez des élèves faibles et souvent vouée à l’échec (essayer une opération), enrichie par les jeux de contrôle.

La question reste aussi posée de savoir si ces connaissances sont le fruit d’un enseignement explicite (effet maître) ou une construction autonome de l’élève (un savoir naïf, au sens de Lautrey et al., 2008), si ces déficiences ne sont pas liées à des choix institutionnels d'enseignement qui cloisonnent les savoirs ou délaissent certains questions (par exemple les questions sémiotiques). L’explicitation en formation de ces connaissances pourrait contribuer à outiller les enseignants dans la tâche difficile d’enseignement de la résolution de problèmes numériques ordinaires, mais elle présente aussi le risque de rigidifier leur enseignement. Dans tous les cas il s'agit encore de nouvelles perspectives de recherche.    

Références bibliographiques

Castela, C. (2008). Approche didactique des processus différenciateurs dans l’enseignement des mathématiques. Perspectives en Didactique des mathématiques Cours de la XIIIème École d'été de didactique de mathématiques 2005. Grenoble: La Pensés Sauvage.

Coppé, S., &,Houdement, C. (2001). Réflexion sur les activités concernant la résolution de problèmes à l’école primaire. Grand N, 69, 53-62.

Houdement, C. (1999). Le choix des problèmes pour la résolution de problèmes. Grand N, 63, 59-76.

Houdement, C. (2011). Connaissances cachées en résolution de problèmes arithmétiques ordinaires à l’école. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives,16, 67-96.

Houdement, C. (2012). Démarche expérimentale en résolution de problèmes ? In J.-L. Dorier et S. Coutat (Eds.) Enseignement des mathématiques et contrat social : enjeux et défis pour le 21e siècle – Actes du colloque EMF2012 (pp.1389-1399, GT10).

Julo, J. (1995). Représentation des problèmes et réussite en mathématiques, Presses Universitaires de Rennes.

Julo, J. (2002). Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes ? Grand N, 69, 31-52.

Lautrey, J., Rémi-Giraud, S., Sander, E. & Tiberghien A. (2008). Les connaissances naïves. Paris : Armand Colin

Sarrazy, B. (2003). Le problème d’arithmétique dans l’enseignement des mathématiques à  l’école primaire de 1887 à 1990. Carrefours de l'Éducation, 15, 82-101.

Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (2/3), 133-170.

Vermersch, P. (1994). L’entretien d’explicitation. Paris : ESF

Verschaffel, L., Greer, B. & de Corte, E. (2000), Making sense of word problems, Lisse (Netherlands): Swets & Zeitlinger Publishers

Verschaffel, L., & De Corte, E. 2008). La modélisation et la résolution des problèmes d’application : de l’analyse à l’utilisation efficace. In M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire (Eds.). Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que disent les recherches psychopédagogiques? (pp.153-176). Bruxelles : De Boeck Supérieur « Pédagogies en développement ».